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Table 3 Mean estimates from 20000 replicate simulations of bias (MC error of bias), variance (MC error of variance) and type-1 error (MC error type-1 error), from the fitted linear, beta, variable-dispersion beta and fractional logit regression models estimated on the beta distributed response data (Type 1 error experiments)

From: A Monte Carlo simulation study comparing linear regression, beta regression, variable-dispersion beta regression and fractional logit regression at recovering average difference measures in a two sample design

      Linear regression model Beta regression model Variable dispersion beta regression model Fractional logit regression model
N0 = N1 μ0 φ 0 μ1 φ 1 Bias MC error bias Variance MC error variance Type-1 Error MC Error Type-1 Error Bias MC error bias Variance MC error variance Type-1 Error MC Error Type-1 Error Bias MC error bias Variance MC error variance Type-1 Error MC Error Type-1 Error Bias MC error bias Variance MC error variance Type-1 Error MC Error Type-1 Error
25 0.5 5 0.5 5 -4.18E-04 4.10E-04 3.34E-03 3.35E-05 0.050 0.002 -4.52E-04 4.06E-04 3.11E-03 2.99E-05 0.063 0.002 -4.57E-04 4.07E-04 3.09E-03 2.97E-05 0.064 0.002 -4.18E-04 4.10E-04 3.20E-03 3.29E-05 0.061 0.002
100 0.5 5 0.5 5 2.07E-04 2.05E-04 8.33E-04 8.15E-06 0.050 0.002 1.65E-04 2.03E-04 8.06E-04 7.41E-06 0.052 0.002 1.61E-04 2.03E-04 8.05E-04 7.40E-06 0.053 0.002 2.07E-04 2.05E-04 8.25E-04 8.11E-06 0.053 0.002
250 0.5 5 0.5 5 -1.72E-04 1.29E-04 3.33E-04 3.24E-06 0.050 0.002 -1.57E-04 1.27E-04 3.25E-04 2.95E-06 0.052 0.002 -1.61E-04 1.28E-04 3.24E-04 2.94E-06 0.052 0.002 -1.72E-04 1.29E-04 3.32E-04 3.23E-06 0.051 0.002
750 0.5 5 0.5 5 2.88E-05 7.45E-05 1.11E-04 1.08E-06 0.050 0.002 1.20E-05 7.35E-05 1.09E-04 9.87E-07 0.049 0.002 1.15E-05 7.35E-05 1.09E-04 9.87E-07 0.049 0.002 2.88E-05 7.45E-05 1.11E-04 1.08E-06 0.050 0.002
25 0.5 100 0.5 100 3.16E-05 9.98E-05 1.98E-04 1.00E-05 0.051 0.002 3.25E-05 9.98E-05 1.90E-04 9.81E-06 0.062 0.002 3.24E-05 9.98E-05 1.90E-04 9.80E-06 0.062 0.002 3.16E-05 9.98E-05 1.91E-04 9.82E-06 0.061 0.002
100 0.5 100 0.5 100 -1.44E-05 4.99E-05 4.95E-05 2.44E-06 0.051 0.002 -1.38E-05 4.99E-05 4.90E-05 2.43E-06 0.054 0.002 -1.38E-05 4.99E-05 4.90E-05 2.43E-06 0.054 0.002 -1.44E-05 4.99E-05 4.90E-05 2.43E-06 0.053 0.002
250 0.5 100 0.5 100 6.80E-06 3.13E-05 1.98E-05 1.01E-06 0.049 0.002 6.67E-06 3.12E-05 1.97E-05 1.01E-06 0.049 0.002 6.67E-06 3.12E-05 1.97E-05 1.01E-06 0.049 0.002 6.80E-06 3.13E-05 1.97E-05 1.01E-06 0.049 0.002
750 0.5 100 0.5 100 -1.67E-06 1.82E-05 6.66E-06 6.47E-07 0.052 0.002 -1.62E-06 1.82E-05 6.65E-06 6.55E-07 0.053 0.002 -1.62E-06 1.82E-05 6.65E-06 6.55E-07 0.053 0.002 -1.67E-06 1.82E-05 6.65E-06 6.54E-07 0.053 0.002
25 0.25 5 0.25 5 -2.08E-04 3.52E-04 2.50E-03 3.74E-05 0.049 0.002 -7.51E-05 3.27E-04 2.05E-03 3.10E-05 0.062 0.002 -1.59E-04 3.48E-04 2.33E-03 3.25E-05 0.060 0.002 -2.08E-04 3.52E-04 2.40E-03 3.67E-05 0.060 0.002
100 0.25 5 0.25 5 2.77E-04 1.77E-04 6.26E-04 9.09E-06 0.050 0.002 2.83E-04 1.64E-04 5.28E-04 7.71E-06 0.053 0.002 3.26E-04 1.75E-04 6.06E-04 8.12E-06 0.053 0.002 2.77E-04 1.77E-04 6.20E-04 9.04E-06 0.053 0.002
250 0.25 5 0.25 5 1.11E-04 1.12E-04 2.50E-04 3.64E-06 0.049 0.002 1.38E-04 1.03E-04 2.12E-04 3.10E-06 0.051 0.002 1.14E-04 1.10E-04 2.44E-04 3.27E-06 0.050 0.002 1.11E-04 1.12E-04 2.49E-04 3.63E-06 0.050 0.002
750 0.25 5 0.25 5 4.20E-05 6.44E-05 8.33E-05 1.22E-06 0.048 0.002 2.86E-05 5.94E-05 7.09E-05 1.05E-06 0.050 0.002 4.40E-05 6.38E-05 8.15E-05 1.10E-06 0.049 0.002 4.20E-05 6.44E-05 8.32E-05 1.22E-06 0.048 0.002
25 0.25 100 0.25 100 2.34E-05 8.69E-05 1.48E-04 8.84E-06 0.050 0.002 1.31E-05 8.66E-05 1.41E-04 8.50E-06 0.060 0.002 2.39E-05 8.69E-05 1.42E-04 8.58E-06 0.060 0.002 2.34E-05 8.69E-05 1.42E-04 8.65E-06 0.060 0.002
100 0.25 100 0.25 100 9.32E-06 4.31E-05 3.71E-05 2.18E-06 0.051 0.002 1.03E-05 4.30E-05 3.65E-05 2.13E-06 0.053 0.002 9.62E-06 4.31E-05 3.67E-05 2.15E-06 0.053 0.002 9.32E-06 4.31E-05 3.67E-05 2.17E-06 0.053 0.002
250 0.25 100 0.25 100 -7.06E-06 2.73E-05 1.49E-05 9.05E-07 0.049 0.002 -8.38E-06 2.72E-05 1.47E-05 8.93E-07 0.050 0.002 -7.25E-06 2.73E-05 1.48E-05 9.01E-07 0.049 0.002 -7.06E-06 2.73E-05 1.48E-05 9.05E-07 0.050 0.002
750 0.25 100 0.25 100 1.44E-05 1.58E-05 5.00E-06 1.36E-07 0.049 0.002 1.30E-05 1.58E-05 4.99E-06 1.63E-07 0.051 0.002 1.44E-05 1.58E-05 4.99E-06 1.37E-07 0.050 0.002 1.44E-05 1.58E-05 4.99E-06 1.39E-07 0.049 0.002
25 0.05 5 0.05 5 3.45E-04 1.78E-04 6.35E-04 4.42E-05 0.042 0.001 1.05E-04 9.94E-05 1.96E-04 2.44E-05 0.040 0.001 3.40E-04 1.73E-04 6.24E-04 3.82E-05 0.036 0.001 3.45E-04 1.78E-04 6.09E-04 4.33E-05 0.054 0.002
100 0.05 5 0.05 5 -7.35E-05 8.93E-05 1.59E-04 1.10E-05 0.051 0.002 -3.62E-05 4.83E-05 4.68E-05 5.98E-06 0.048 0.002 -6.70E-05 8.80E-05 1.56E-04 9.75E-06 0.048 0.002 -7.35E-05 8.93E-05 1.57E-04 1.09E-05 0.053 0.002
250 0.05 5 0.05 5 2.00E-05 5.58E-05 6.32E-05 4.40E-06 0.049 0.002 4.10E-05 3.03E-05 1.84E-05 2.38E-06 0.050 0.002 1.63E-05 5.53E-05 6.21E-05 3.92E-06 0.048 0.002 2.00E-05 5.58E-05 6.29E-05 4.39E-06 0.050 0.002
750 0.05 5 0.05 5 6.80E-06 3.25E-05 2.11E-05 1.49E-06 0.050 0.002 -6.04E-06 1.75E-05 6.13E-06 8.98E-07 0.050 0.002 6.78E-06 3.21E-05 2.07E-05 1.34E-06 0.050 0.002 6.80E-06 3.25E-05 2.11E-05 1.49E-06 0.050 0.002
25 0.05 100 0.05 100 -4.70E-05 4.37E-05 3.76E-05 5.33E-06 0.050 0.002 -5.81E-05 4.19E-05 3.32E-05 4.40E-06 0.062 0.002 -4.70E-05 4.36E-05 3.64E-05 4.92E-06 0.059 0.002 -4.70E-05 4.37E-05 3.61E-05 5.22E-06 0.060 0.002
100 0.05 100 0.05 100 2.39E-05 2.16E-05 9.41E-06 1.36E-06 0.049 0.002 2.17E-05 2.07E-05 8.54E-06 1.14E-06 0.052 0.002 2.38E-05 2.16E-05 9.32E-06 1.26E-06 0.050 0.002 2.39E-05 2.16E-05 9.31E-06 1.35E-06 0.052 0.002
250 0.05 100 0.05 100 -3.24E-05 1.37E-05 3.82E-06 7.23E-07 0.050 0.002 -3.21E-05 1.31E-05 3.38E-06 9.34E-07 0.050 0.002 -3.24E-05 1.37E-05 3.83E-06 6.98E-07 0.051 0.002 -3.24E-05 1.37E-05 3.81E-06 7.43E-07 0.051 0.002
750 0.05 100 0.05 100 -2.60E-06 7.93E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.052 0.002 -3.87E-06 7.60E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.052 0.002 -2.63E-06 7.93E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.052 0.002 -2.60E-06 7.93E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.052 0.002
25 0.5 5 0.5 10 -2.22E-04 3.59E-04 2.57E-03 3.12E-05 0.052 0.002 -2.37E-04 3.62E-04 2.46E-03 3.01E-05 0.065 0.002 -2.24E-04 3.58E-04 2.40E-03 2.81E-05 0.064 0.002 -2.22E-04 3.59E-04 2.47E-03 3.06E-05 0.062 0.002
100 0.5 5 0.5 10 -1.92E-04 1.80E-04 6.44E-04 7.71E-06 0.051 0.002 -2.03E-04 1.82E-04 6.40E-04 7.59E-06 0.055 0.002 -2.09E-04 1.79E-04 6.26E-04 7.12E-06 0.054 0.002 -1.92E-04 1.80E-04 6.38E-04 7.68E-06 0.054 0.002
250 0.5 5 0.5 10 -9.90E-05 1.13E-04 2.57E-04 3.04E-06 0.050 0.002 -7.63E-05 1.14E-04 2.58E-04 3.00E-06 0.054 0.002 -6.83E-05 1.12E-04 2.52E-04 2.81E-06 0.052 0.002 -9.90E-05 1.13E-04 2.56E-04 3.03E-06 0.051 0.002
750 0.5 5 0.5 10 2.83E-05 6.59E-05 8.58E-05 1.02E-06 0.052 0.002 4.12E-05 6.65E-05 8.62E-05 1.01E-06 0.053 0.002 3.14E-05 6.54E-05 8.43E-05 9.47E-07 0.053 0.002 2.83E-05 6.59E-05 8.57E-05 1.02E-06 0.053 0.002
25 0.5 100 0.5 200 -2.30E-05 8.62E-05 1.49E-04 9.17E-06 0.051 0.002 -2.33E-05 8.63E-05 1.43E-04 9.01E-06 0.061 0.002 -2.36E-05 8.62E-05 1.43E-04 8.97E-06 0.061 0.002 -2.30E-05 8.62E-05 1.43E-04 8.99E-06 0.061 0.002
100 0.5 100 0.5 200 9.13E-05 4.29E-05 3.72E-05 2.25E-06 0.046 0.001 9.09E-05 4.29E-05 3.68E-05 2.25E-06 0.048 0.002 9.09E-05 4.29E-05 3.68E-05 2.24E-06 0.048 0.002 9.13E-05 4.29E-05 3.68E-05 2.24E-06 0.048 0.002
250 0.5 100 0.5 200 -4.36E-05 2.74E-05 1.49E-05 9.42E-07 0.051 0.002 -4.35E-05 2.74E-05 1.48E-05 9.43E-07 0.052 0.002 -4.34E-05 2.74E-05 1.48E-05 9.39E-07 0.052 0.002 -4.36E-05 2.74E-05 1.48E-05 9.41E-07 0.052 0.002
750 0.5 100 0.5 200 1.09E-06 1.58E-05 5.00E-06 1.47E-07 0.052 0.002 8.86E-07 1.58E-05 5.00E-06 1.48E-07 0.052 0.002 8.93E-07 1.58E-05 5.00E-06 1.49E-07 0.052 0.002 1.09E-06 1.58E-05 5.00E-06 1.49E-07 0.052 0.002
25 0.25 5 0.25 10 -3.68E-04 3.11E-04 1.93E-03 3.36E-05 0.050 0.002 2.27E-02 2.96E-04 1.67E-03 2.86E-05 0.102 0.002 -1.82E-05 3.09E-04 1.81E-03 2.96E-05 0.062 0.002 -3.68E-04 3.11E-04 1.85E-03 3.29E-05 0.061 0.002
100 0.25 5 0.25 10 -3.66E-04 1.55E-04 4.83E-04 8.36E-06 0.050 0.002 2.35E-02 1.47E-04 4.31E-04 7.22E-06 0.211 0.003 -2.87E-04 1.54E-04 4.70E-04 7.50E-06 0.053 0.002 -3.66E-04 1.55E-04 4.78E-04 8.31E-06 0.052 0.002
250 0.25 5 0.25 10 9.95E-05 9.78E-05 1.93E-04 3.35E-06 0.049 0.002 2.41E-02 9.22E-05 1.73E-04 2.91E-06 0.456 0.004 1.48E-04 9.69E-05 1.89E-04 3.03E-06 0.050 0.002 9.95E-05 9.78E-05 1.92E-04 3.34E-06 0.050 0.002
750 0.25 5 0.25 10 -9.18E-06 5.71E-05 6.44E-05 1.11E-06 0.053 0.002 2.40E-02 5.38E-05 5.79E-05 9.70E-07 0.884 0.002 1.60E-05 5.66E-05 6.33E-05 1.01E-06 0.053 0.002 -9.18E-06 5.71E-05 6.43E-05 1.11E-06 0.054 0.002
25 0.25 100 0.25 200 2.38E-05 7.50E-05 1.12E-04 8.09E-06 0.050 0.002 1.22E-03 7.48E-05 1.07E-04 7.81E-06 0.062 0.002 2.42E-05 7.50E-05 1.07E-04 7.85E-06 0.061 0.002 2.38E-05 7.50E-05 1.07E-04 7.93E-06 0.060 0.002
100 0.25 100 0.25 200 -8.89E-06 3.76E-05 2.79E-05 1.99E-06 0.051 0.002 1.24E-03 3.75E-05 2.75E-05 1.96E-06 0.059 0.002 -8.41E-06 3.76E-05 2.76E-05 1.97E-06 0.054 0.002 -8.89E-06 3.76E-05 2.76E-05 1.98E-06 0.054 0.002
250 0.25 100 0.25 200 -1.15E-05 2.38E-05 1.12E-05 8.52E-07 0.051 0.002 1.23E-03 2.37E-05 1.11E-05 8.41E-07 0.069 0.002 -1.16E-05 2.38E-05 1.11E-05 8.47E-07 0.052 0.002 -1.15E-05 2.38E-05 1.11E-05 8.50E-07 0.052 0.002
750 0.25 100 0.25 200 6.24E-06 1.36E-05 3.94E-06 4.26E-07 0.050 0.002 1.26E-03 1.36E-05 3.92E-06 4.77E-07 0.099 0.002 6.41E-06 1.36E-05 3.94E-06 4.36E-07 0.050 0.002 6.24E-06 1.36E-05 3.93E-06 4.41E-07 0.050 0.002
25 0.05 5 0.05 10 5.41E-05 1.54E-04 4.90E-04 3.90E-05 0.051 0.002 2.16E-02 9.12E-05 1.90E-04 2.11E-05 0.374 0.003 5.03E-04 1.51E-04 4.85E-04 3.38E-05 0.047 0.001 5.41E-05 1.54E-04 4.70E-04 3.82E-05 0.061 0.002
100 0.05 5 0.05 10 -6.01E-05 7.71E-05 1.22E-04 9.72E-06 0.049 0.002 2.19E-02 4.47E-05 4.62E-05 5.19E-06 0.920 0.002 5.21E-05 7.64E-05 1.21E-04 8.56E-06 0.048 0.002 -6.01E-05 7.71E-05 1.21E-04 9.67E-06 0.051 0.002
250 0.05 5 0.05 10 -5.42E-05 4.93E-05 4.90E-05 3.86E-06 0.049 0.002 2.22E-02 2.84E-05 1.84E-05 2.08E-06 1.000 0.000 -7.90E-07 4.90E-05 4.83E-05 3.43E-06 0.049 0.002 -5.42E-05 4.93E-05 4.88E-05 3.85E-06 0.050 0.002
750 0.05 5 0.05 10 5.39E-05 2.83E-05 1.63E-05 1.31E-06 0.049 0.002 2.22E-02 1.63E-05 6.13E-06 7.84E-07 1.000 0.000 6.76E-05 2.81E-05 1.61E-05 1.17E-06 0.049 0.002 5.39E-05 2.83E-05 1.63E-05 1.31E-06 0.049 0.002
25 0.05 100 0.05 200 -1.58E-06 3.76E-05 2.82E-05 4.79E-06 0.054 0.002 2.09E-03 3.63E-05 2.54E-05 3.98E-06 0.082 0.002 -6.31E-07 3.76E-05 2.72E-05 4.43E-06 0.062 0.002 -1.58E-06 3.76E-05 2.71E-05 4.69E-06 0.064 0.002
100 0.05 100 0.05 200 1.51E-05 1.90E-05 7.07E-06 1.24E-06 0.052 0.002 2.19E-03 1.83E-05 6.56E-06 1.07E-06 0.144 0.002 1.55E-05 1.90E-05 7.01E-06 1.16E-06 0.054 0.002 1.51E-05 1.90E-05 6.99E-06 1.23E-06 0.056 0.002
250 0.05 100 0.05 200 -7.23E-06 1.19E-05 2.94E-06 5.33E-07 0.051 0.002 2.19E-03 1.15E-05 2.77E-06 8.89E-07 0.272 0.003 -6.93E-06 1.19E-05 2.94E-06 4.99E-07 0.052 0.002 -7.23E-06 1.19E-05 2.93E-06 5.56E-07 0.052 0.002
750 0.05 100 0.05 200 -4.05E-06 6.85E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.049 0.002 2.19E-03 6.60E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.647 0.003 -4.04E-06 6.85E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.050 0.002 -4.05E-06 6.85E-06 1.00E-06 0.00E + 00 0.050 0.002
  1. The first 24 rows of the Table describe experiments where the dispersion parameter does not vary as a function of group membership; whereas, in the bottom 24 rows of the Table the dispersion parameter varies as a function of group membership. Rows 1–8 (and 25–32) correspond to simulated experiments where the mass of the distribution is near 0.50, rows 9–16 (and 33–40) correspond to simulated experiments where the mass of the distribution is centered near 0.25, and finally rows 17–24 (and 41–48) correspond to simulated experiments where the mass of the distribution is near 0.05.
  2. ∆ = 0 (type-1 error experiments).
  3. Type-1 error refers to proportion of null hypothesis reject (expected 0.05).